Inclusion Proof

Definition / 释义

inclusion proof：包含性证明（常见于数学/逻辑）。指通过证明“一个集合/命题/结构包含在另一个之内”（即 \(A \subseteq B\)），从而建立结论的一种证明方式。也常作为“双向包含证明”的一部分：分别证明 \(A \subseteq B\) 和 \(B \subseteq A\)，从而得到 \(A = B\)。

Pronunciation / 发音（IPA）

/ɪnˈkluːʒən pruːf/

Examples / 例句

An inclusion proof shows that every element of A is also in B.
包含性证明表明：A 中的每个元素也都属于 B。

To establish the identity of the two sets, the author uses an inclusion proof in both directions, proving \(A \subseteq B\) and \(B \subseteq A\).
为证明两个集合相等，作者使用双向的包含性证明：先证 \(A \subseteq B\)，再证 \(B \subseteq A\)。

Etymology / 词源

inclusion 来自拉丁语 includere（把……关在里面、包含），由 *in-*（在……里面）+ cludere（关闭）构成；proof 来自拉丁语 probare（检验、证明）。合起来表示“用证明来确立包含关系”。

Related Words / 相关词汇

• Containment
• Subset
• Superset
• Inclusion
• Set Equality
• Biconditional
• Proof
• Direct Proof

Literary Works / 文学与名著出处

• How to Prove It: A Structured Approach（Daniel J. Velleman）——在集合论与证明方法章节中常用“包含/双向包含”来证明集合相等。
• Book of Proof（Richard Hammack）——以初等证明训练为主，涉及集合相等与“证明 \(A \subseteq B\)”的典型写法。
• Naive Set Theory（Paul R. Halmos）——集合论经典入门中频繁使用包含关系与相应证明思路。